【考研八个常见的泰勒公式】在考研数学中，泰勒公式是重要的工具之一，尤其在求极限、证明题和积分计算中应用广泛。掌握常见函数的泰勒展开式，能够大大提高解题效率。以下是考研中常见的八个泰勒公式，以加表格的形式呈现，便于记忆与复习。
一、泰勒公式简介
泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，其一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $R_n(x)$ 是余项。在实际考试中，通常使用 $a=0$ 的泰勒展开（即麦克劳林级数）。
二、八个常见的泰勒公式
以下为考研中高频出现的八个函数的泰勒展开式（均以 $x \to 0$ 为中心展开）：
| 序号 | 函数名称 | 泰勒展开式（x→0） | 高阶无穷小项 |
| 1 | $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$ | $o(x^n)$ |
| 2 | $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$ | $o(x^{2n+2})$ |
| 3 | $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$ | $o(x^{2n+1})$ |
| 4 | $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$ | $o(x^n)$ |
| 5 | $\arctan x$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$ | $o(x^{2n+2})$ |
| 6 | $\arcsin x$ | $x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots + \text{高阶项} + o(x^5)$ | $o(x^5)$ |
| 7 | $(1+x)^a$ | $1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$ | $o(x^n)$ |
| 8 | $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots + \text{高阶项} + o(x^5)$ | $o(x^5)$ |
三、注意事项
1. 展开次数：根据题目要求选择合适的展开项数，如求极限时常用到前几项。
2. 奇偶性：一些函数如 $\sin x$ 和 $\cos x$ 具有奇偶性，可简化展开过程。
3. 组合使用：有时需要将多个泰勒展开式组合使用，例如 $e^{\sin x}$ 可先对 $\sin x$ 展开再代入 $e^x$ 中。
4. 误差估计：注意余项 $o(x^n)$ 的含义，它表示比 $x^n$ 更高阶的无穷小。
四、总结
掌握这八个常见的泰勒公式，有助于快速处理考研中的各类问题。建议通过反复练习来加深理解，并结合具体例题进行巩固。在备考过程中，不仅要记住公式，更要理解其推导原理和应用场景，才能灵活运用。
