【等差数列通项公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数。这个常数称为“公差”。等差数列在实际生活中应用广泛，如时间间隔、建筑结构设计、财务计算等。
本文将对等差数列的通项公式进行总结，并通过表格形式展示关键信息，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、等差数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
- 公差（d）：等差数列中相邻两项的差，即 $ d = a_{n} - a_{n-1} $
- 首项（a₁）：数列的第一个数
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数
二、等差数列的通项公式
等差数列的第n项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第n项
- $ a_1 $ 表示首项
- $ d $ 表示公差
- $ n $ 表示项数
三、通项公式的应用举例
| 项数(n) | 首项(a₁) | 公差(d) | 第n项(aₙ) |
| 1 | 3 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 2 | 7 |
| 4 | 3 | 2 | 9 |
| 5 | 3 | 2 | 11 |
根据公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，代入数据可得：
- $ a_1 = 3 $
- $ a_2 = 3 + (2 - 1) \times 2 = 5 $
- $ a_3 = 3 + (3 - 1) \times 2 = 7 $
- 以此类推，得到上述表格内容。
四、常见问题解析
| 问题 | 解答 |
| 如何求等差数列的第10项？ | 使用通项公式 $ a_{10} = a_1 + (10 - 1)d $ |
| 已知首项和公差，如何判断某数是否是该数列中的项？ | 将该数代入公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，若解出的n为正整数，则是该数列的项 |
| 如果已知两个项，如何求首项和公差？ | 设 $ a_m = a_1 + (m - 1)d $，$ a_n = a_1 + (n - 1)d $，联立方程求解 |
五、总结
等差数列的通项公式是理解等差数列性质的关键工具。通过掌握这一公式，可以快速求出任意一项的值，也可以用于判断某个数是否属于该数列。结合实际例子和表格分析，有助于加深对等差数列的理解和应用能力。
希望本文能够帮助你更好地掌握等差数列的相关知识。
